Seminarski rad iz matematike

Matematički rad se razlikuje od svih ostalih po tome što se u njemu ne raspravlja. Tvrdnja je ili dokazana ili nije, a zadatak rada je da taj dokaz izloži tako da ga čitalac može pratiti korak po korak.

To znači da je forma strožija, ali i da je manje prostora za lutanje.

Šta se obično traži

Na osnovnim studijama se seminarski iz matematike najčešće svodi na jedno od troje:

Izlaganje teorije — obrada oblasti sa definicijama, teoremama i dokazima. Nije originalan doprinos, nego uređeno izlaganje već poznatog.

Rešeni primeri i primena — pokazivanje kako se metoda primenjuje na konkretne zadatke ili probleme iz druge oblasti.

Numerička ili računarska obrada — implementacija metode i poređenje rezultata. Ovde se matematika spaja sa informatikom.

Tvoj doprinos u sva tri slučaja nije nova teorema — to se od seminarskog rada ni ne očekuje. Doprinos je izbor i raspored: šta si uzeo, kojim redom si to poslagao, koje si korake razradio detaljnije nego izvor i koje si primere sam sastavio.

Zato se tema bira tako da se može zaokružiti. Dobar obim je jedna teorema sa dokazom, uz sve što je potrebno da se ona razume, plus primeri i jedan granični slučaj. Rad koji pokriva celu oblast neizbežno postaje spisak tvrdnji bez dokaza, a upravo dokazi su ono što se ocenjuje.

Treći tip ima praktičnu prednost ako ti izvođenja idu teže: implementacija metode i tabela u kojoj porediš dobijeni rezultat sa tačnim daju sopstveni materijal koji se ne može prepisati. Srodni pristup: seminarski rad iz informatike.

Struktura i tabela oznaka

1. Uvod — oblast, motivacija, šta rad obuhvata
2. Oznake i pojmovi — šta koji simbol znači u ovom radu
3. Osnovne definicije
4. Teoreme sa dokazima
5. Primeri i primena
6. Zaključak

Druga tačka je specifičnost matematike. Isti simbol u različitim knjigama znači različite stvari, pa se na početku određuje šta se u ovom radu koristi.

Praktično se to piše kao tabela sa tri kolone: simbol, značenje u ovom radu, i mesto gde je uveden. Popunjava se dok pišeš, a ne na kraju, jer se tada svaka nedoslednost vidi u trenutku kad nastane. Ako se ista oznaka pojavi dvaput sa različitim značenjem, tabela to otkrije pre mentora.

Numeracija tvrdnji se određuje takođe na početku i ne menja se. Uobičajeno je da definicije, leme, teoreme i posledice idu u jednom nizu po poglavljima, pa se na njih poziva brojem. Bez toga se u tekstu pojavljuju upućivanja tipa „kao što je ranije pokazano”, a čitalac ne zna gde. Word ume da prati takva upućivanja sam: unakrsne reference u Wordu.

Kako se izlaže dokaz

Standardni redosled je: tvrdnja, pa dokaz, pa zaključenje.

• Teorema se izdvaja i numeriše, da bi se na nju kasnije moglo pozivati
• Dokaz počinje rečju „Dokaz.” i završava se oznakom kraja
• Svaki korak mora da sledi iz prethodnog, uz pozivanje na definiciju, lemu ili već dokazanu teoremu
• Ako preskačeš korak, napiši da ga preskačeš i zašto je očigledan — nikad ne ostavljaj prazninu ćutke

Najčešća zamerka nije greška u računu, nego preskočen korak koji je tebi bio očigledan, a čitaocu nije.

Kako se to proverava bez mentora: pređi dokaz red po red i uz svaki red na margini napiši oznaku onoga iz čega taj red sledi — broj definicije, broj leme, ili reč „računanje”. Redovi uz koje ne umeš ništa da napišeš su upravo mesta na kojima ćeš dobiti pitanje. Ili ih razradi, ili napiši rečenicu koja kaže na čemu se korak zasniva.

Pre samog dokaza je korisno u jednoj rečenici najaviti kako se dokazuje — indukcijom, svođenjem na protivrečnost, konstrukcijom, direktnom proverom. Čitalac tada prati postupak umesto da ga pogađa, a ti dobijaš okvir koji ti ne da da odlutaš.

Duga izvođenja se razbijaju na leme. Ako dokaz ima dve strane, gotovo uvek se iz njega može izdvojiti pomoćna tvrdnja koja se dokaže zasebno. Rad sa tri kratka dokaza čita se bolje od rada sa jednim dugačkim, a pokazuje isto znanje.

Formule

Tehnički deo koji zadaje najviše muke u Wordu:

• Izdvojene formule idu u poseban red, centrirane, i numerišu se desno ako se na njih poziva
• Kratki izrazi ostaju u tekstu, ali i dalje u editoru formula, ne kao običan tekst
• Oznake su dosledne kroz ceo rad — ako je vektor podebljan u trećem poglavlju, podebljan je i u sedmom
• Formula je deo rečenice i uzima interpunkciju: ako je na kraju rečenice, iza nje ide tačka

Za duže radove sa mnogo formula, LaTeX je znatno praktičniji od Worda, i na matematičkim smerovima se često i očekuje. Ako pišeš u Wordu, koristi ugrađeni editor formula, ne slike. Opšte formatiranje: kako formatirati rad u Wordu.

Izbor alata donesi pre prve strane, jer se prelazak sa Worda na LaTeX u sredini rada svodi na ponovno kucanje svega. Merilo je jednostavno: ako rad ima svega nekoliko izdvojenih formula, Word je brži; ako ih ima desetine, uz numeraciju i pozivanja, LaTeX se isplati već posle prvog poglavlja.

Numerišu se samo formule na koje se pozivaš. Rad u kom je svaki izraz numerisan, a nijedan broj se kasnije ne pominje, izgleda uredno ali pokazuje da numeracija nije razumljena.

Primeri i kontraprimeri

Teorema bez primera je teško čitljiva. Jedan dobro izabran primer posle dokaza pokazuje da si razumeo šta tvrdnja znači, a ne samo kako se izvodi.

Još bolje je i kontraprimer: slučaj u kom uslov teoreme nije ispunjen i tvrdnja pada. To pokazuje zašto uslov uopšte stoji.

Kontraprimer se traži sistematski, a ne nadahnućem. Uzmeš uslove teoreme jedan po jedan, izbaciš tačno jedan, i tražiš slučaj u kom tvrdnja onda ne važi. Ako takav slučaj ne nađeš, to je takođe nalaz — možda je uslov jači nego što mora da bude, i o tome se piše otvoreno, kao otvoreno pitanje, bez tvrdnje.

Primeri se biraju tako da se razlikuju. Tri primera iste vrste pokazuju jednu stvar triput; jedan tipičan, jedan granični i jedan u kom tvrdnja pada pokrivaju celu tvrdnju. Granični primer je onaj u kom je uslov ispunjen jedva — on najbolje pokazuje da razumeš gde je ivica.

Izvori

U matematici se koriste udžbenici, monografije i radovi iz časopisa. Specifičnost je da starost izvora nije mana — teorema dokazana pre sto godina je i dalje tačna.

Navođenje je obično po sistemu autor–godina ili numerički, zavisno od katedre. Kada preuzimaš dokaz iz knjige, to se izričito navodi: „Dokaz je dat prema [izvor]”. Preuzet dokaz predstavljen kao sopstveni je ozbiljna greška, čak i kad je dokaz opštepoznat.

Gradacija koja se u radu očekuje ide ovako: dokaz preuzet u celini se tako i označava; dokaz koji si preuzeo pa razradio korake koji su u izvoru preskočeni označava se kao dat prema izvoru, uz napomenu da su koraci dopunjeni; dokaz koji si sam izveo ide bez napomene. Sve troje je u seminarskom radu prihvatljivo — nije prihvatljivo samo prećutati prvo.

Pozivanje na stranu je obavezno kada preuzimaš tačno određenu tvrdnju ili dokaz, ne samo na knjigu u celini. To je i praktično: kad ti mentor postavi pitanje, sam nađeš mesto za nekoliko sekundi. Više o starosti literature: koliko stari izvori smeju da budu.

Najčešće greške

Preskočeni koraci u dokazu. Nastaje jer je tebi korak očigledan. Popravka: uz svaki red napiši iz čega sledi.

Nedosledne oznake kroz rad. Nastaje mešanjem izvora koji koriste različite konvencije. Popravka: tabela oznaka koja se popunjava dok pišeš.

Formule kao slike. Ne mogu se ni pretražiti ni ispraviti, a nose tuđe oznake. Popravka: otkucaj ih u editoru formula.

Teorema bez ijednog primera. Popravka: posle svakog dokaza jedan primer i, gde je moguće, jedan kontraprimer.

Preuzet dokaz bez navođenja odakle je. Popravka: gradacija iz prethodnog odeljka, uz broj strane.

Rad koji je prepis poglavlja iz udžbenika. Nastaje kad se piše iz jednog izvora, redom. Popravka: napravi sopstveni raspored pre pisanja i koristi bar dva izvora.

Za srednjoškolski nivo, gde se traži manje formalnosti: maturski rad iz matematike. Ako se metoda primenjuje u fizici: seminarski rad iz fizike.